Существует большое количество задач, связанных с цилиндром. В них нужно находить радиус и высоту тела или вид его сечения. Плюс ко всему, иногда требуется вычислить площадь цилиндра и его объем.
Содержание
- 1 Задача
- 2 Задача 2.
- 3 Задача 3.
- 4 Задача 4.
- 5 Задача 5.
- 6 Задача 6.
- 7 Задача 7.
- 8 Задача 8.
- 9 Задача 9.
- 10 Задача 10.
- 11 Задача 11.
- 12 Задача 12.
- 13 Задача 13.
- 14 Какое тело является цилиндром?
- 15 Основные элементы цилиндра
- 16 О площади боковой поверхности и основания для прямого кругового цилиндра
- 17 О площади всей поверхности прямого кругового цилиндра
- 18 Чему равны некоторые сечения прямого кругового цилиндра?
Задача
Радиус основания цилиндра равен 7, высота равна 10. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на .
Решение: + показать
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле где – высота цилиндра, – радиус.
Тогда
Следовательно,
Ответ: 140.
Это интересно:
Задача 2.
Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.
Решение: + показать
Пусть – радиус основания первой кружки, – высота первой кружки.
Тогда – радиус второй кружки, – высота второй кружки.
Объемы цилиндров вычисляются так:
Наконец,
Ответ: 1,125.
Задача 3.
В цилиндрический сосуд налили см воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 10 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см.
Решение: + показать
Объем вытесненной жидкости равен объему погруженной детали в жидкость.
Первоначально жидкость занимала объем .
И так как объем жидкости по условию равен см, то
Тогда объем вытесненной жидкости (а значит и детали) есть см.
Ответ: 1000.
Задача 4.
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 3 раза больше первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Решение: + показать
Пусть радиус первого цилиндрического сосуда есть , тогда радиус второго цилиндрического сосуда равен .
В первом сосуде жидкость занимала объем см.
Во втором сосуде жидкость занимает тот же объем, при этом , где – уровень жидкости.
Тогда
Ответ: 3.
Задача 5.
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 1. Объем параллелепипеда равен 5. Найдите высоту цилиндра.
Решение: + показать
Раз прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, то в основании прямоугольного параллелепипеда – квадрат.
Радиус основания цилиндра равен 1, значит сторона квадрата основания параллелепипеда равна 2.
Объем параллелепипеда есть Так как он по условию равен 5, то откуда
У цилиндра и прямоугольного параллелепипеда высоты совпадают, значит и высота цилиндра равна 1,25.
Ответ: 1,25.
Это интересно:
Задача 6.
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 1 и 10. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
Решение: + показать
Объем цилиндра есть
Найдем радиус основания цилиндра:
Центр описанной окружности около прямоугольного треугольника – середина гипотенузы, радиус равен половине гипотенузы, то есть
Так как высота призмы по условию равна равна , то и высота цилиндра тоже равна .
Наконец,
Ответ: 151,5.
Задача 7.
Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 27.
Решение: + показать
Объем конуса есть объем же цилиндра есть , поэтому объем данного цилиндра втрое больше объема конуса и он равен , то есть 81.
Ответ: 81.
Задача 8.
В цилиндрический сосуд, в котором находится 10 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 2,4 раза. Чему равен объем детали? Ответ выразите в литрах.
Решение: + показать
Объем вытесненной жидкости – и есть объем детали. Объем вытесненной жидкости равен 1,4 исходного объема (если допустить, что первоначальная высота столбика жидкости равна , то новая высота столбика – , то есть разница – ), поэтому объем детали равен от исходного объема, то есть литрам.
Ответ: 14.
Задача 9.
Площадь осевого сечения цилиндра равна 23. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на .
Решение: + показать
Площадь осевого сечения цилиндра есть ( – радиус и высота цилиндра). Поэтому
Площадь боковой поверхности цилиндра равна
Подставляя в последнюю формулу значение , получаем
Тогда
Ответ: 23.
Задача 10.
Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .
Решение: + показать
Часть цилиндра, изображенная на рисунке, – есть цилиндра с радиусом основания 6 и высотой 5.
Поэтому объем части цилиндра есть
Наконец,
Ответ: 45.
Задача 11.
Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .
Решение: + показать
Часть цилиндра, изображенная на рисунке, – есть часть цилиндра с радиусом основания 15 и высотой 6.
Поэтому объем части цилиндра есть
Наконец,
Ответ: 1125.
Задача 12.
Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .
Решение: + показать
Ответ: 64.
Задача 13.
Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .
Решение: + показать
Ответ: 75.
Время передохнуть немножко – >+ показать
Взаимовыручка в действии
Вы можете пройти тест по Задачам №8, цилиндр.
Какое тело является цилиндром?
В курсе школьной программы изучается круговой, то есть являющийся таковым в основании, цилиндр. Но выделяют еще и эллиптический вид данной фигуры. Из названия ясно, что его основанием будет эллипс или овал.
Оснований у цилиндра два. Они равны друг другу и соединены отрезками, которые совмещают соответствующие точки оснований. Они называются образующими цилиндра. Все образующие параллельны друг другу и равны. Именно они составляют боковую поверхность тела.
В общем случае цилиндр — это наклонное тело. Если образующие составляют прямой угол с основаниями, то говорят уже о прямой фигуре.
Интересно, что круговой цилиндр является телом вращения. Он получается от поворота прямоугольника вокруг одной из его сторон.
Определение 2. Сечением цилиндра называют пересечение цилиндра с плоскостью.
Если сечение проходит через ось цилиндра, то такое сечение называют осевым сечением цилиндра (рис. 3).
Рис.3
На рисунке 3 изображено одно из осевых сечений цилиндра – прямоугольник AA1B1B .
Замечание 4. Каждое осевое сечение цилиндра с радиусом r и высотой h является прямоугольником со сторонами 2r и h .
Определение 3. Перпендикулярным сечением цилиндра называют сечение, перпендикулярное оси цилиндра (рис. 4).
Рис.4
Замечание 5. Любым перпендикулярным сечением цилиндра будет круг радиуса r .
Замечание 6. Более подробно случаи взаимного расположения цилиндра и плоскости рассматриваются в разделе нашего справочника «Взаимное расположение цилиндра и плоскости в пространстве».
Основные элементы цилиндра
Основные элементы цилиндра выглядят следующим образом.
- Высота. Она является кратчайшим расстоянием между основаниями цилиндра. Если он прямой, то высота совпадает с образующей.
- Радиус. Совпадает с тем, который можно провести в основании.
- Ось. Это прямая линия, которая содержит центры обоих оснований. Ось всегда параллельна всем образующим. В прямом цилиндре она перпендикулярна основаниям.
- Осевое сечение. Оно образуется при пересечении цилиндра плоскостью, содержащей ось.
- Касательная плоскость. Она проходит через одну из образующих и перпендикулярна осевому сечению, которое проведено через эту образующую.
О площади боковой поверхности и основания для прямого кругового цилиндра
Если сделать развертку боковой поверхности, то получится прямоугольник. Его стороны будут совпадать с образующей и длиной окружности основания. Поэтому боковая площадь цилиндра будет равна произведению этих двух величин. Если записать формулу, то получится следующее:
Sбок= l * н,
где н — образующая, l — длина окружности.
Причем последний параметр вычисляется по формуле:
l = 2 π * r,
здесь r — радиус окружности, π — число «пи», равное 3,14.
Поскольку основание — круг, то его площадь вычисляется с помощью такого выражения:
Sосн = π * r2.
О площади всей поверхности прямого кругового цилиндра
Так как она образована двумя основаниями и боковой поверхностью, то нужно сложить эти три величины. То есть полная площадь цилиндра будет вычисляться по формуле:
Sпол = 2 π * r * н + 2 π * r2.
Часто ее записывают в другом виде:
Sпол= 2 π * r (н + r).
Чему равны некоторые сечения прямого кругового цилиндра?
Когда сечение проходит через ось, то его площадь определяется как произведение образующей и диаметра основания. Это объясняется тем, что оно имеет вид прямоугольника, стороны которого совпадают с обозначенными элементами.
Чтобы найти площадь сечения цилиндра, являющегося параллельным осевому, потребуется тоже формула для прямоугольника. В этой ситуации одна его сторона будет по-прежнему совпадать с высотой, а другая равна хорде основания. Последняя же совпадает с линией сечения по основанию.
Когда сечение перпендикулярно оси, то оно имеет вид круга. Причем его площадь такая же, как у основания фигуры.
Возможно еще пересечение под некоторым углом к оси. Тогда в сечении получается овал или его часть.