Как найти площадь осевого сечения в цилиндре

Существует большое количество задач, связанных с цилиндром. В них нужно находить радиус и высоту тела или вид его сечения. Плюс ко всему, иногда требуется вычислить площадь цилиндра и его объем.

Задача

Радиус основания цилиндра равен 7, высота равна 10. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на .

Решение: + показать

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле где – высота цилиндра, – радиус.

Тогда

Следовательно,

Ответ: 140.

Задача 2.

Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

Решение: + показать

Пусть – радиус основания первой кружки, – высота первой кружки.

Тогда – радиус второй кружки, – высота второй кружки.

Объемы цилиндров вычисляются так:

Наконец,

Ответ: 1,125.

Задача 3.

В цилиндрический сосуд налили см воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 10 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см.

Решение: + показать

Объем вытесненной жидкости равен объему погруженной детали в жидкость.

Первоначально жидкость занимала объем .

И так как объем жидкости по условию равен см, то

Тогда объем вытесненной жидкости (а значит и детали) есть см.

Ответ: 1000.

Задача 4.

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 3 раза больше первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение: + показать

Пусть радиус первого цилиндрического сосуда есть , тогда радиус второго цилиндрического сосуда равен .

В первом сосуде жидкость занимала объем см.

Во втором сосуде жидкость занимает тот же объем, при этом , где – уровень жидкости.

Тогда

Ответ: 3.

Задача 5.

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 1. Объем параллелепипеда равен 5. Найдите высоту цилиндра.

Решение: + показать

Раз прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, то в основании прямоугольного параллелепипеда – квадрат.

Радиус основания цилиндра равен 1, значит сторона квадрата основания параллелепипеда равна 2.

Объем параллелепипеда есть Так как он по условию равен 5, то откуда

У цилиндра и прямоугольного параллелепипеда высоты совпадают, значит и высота цилиндра равна 1,25.

Ответ: 1,25.

Задача 6.

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 1 и 10. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Решение: + показать

Объем цилиндра есть

Найдем радиус основания цилиндра:

Центр описанной окружности около прямоугольного треугольника – середина гипотенузы, радиус равен половине гипотенузы, то есть

Так как высота призмы по условию равна равна , то и высота цилиндра тоже равна .

Наконец,

Ответ: 151,5.

Задача 7.

Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 27.

Решение: + показать

Объем конуса есть объем же цилиндра есть , поэтому объем данного цилиндра втрое больше объема конуса и он равен , то есть 81.

Ответ: 81.

Задача 8.

В цилиндрический сосуд, в котором находится 10 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 2,4 раза. Чему равен объем детали? Ответ выразите в литрах.

Решение: + показать

Объем вытесненной жидкости – и есть объем детали. Объем вытесненной жидкости равен 1,4 исходного объема (если допустить, что первоначальная высота столбика жидкости равна , то новая высота столбика – , то есть разница – ), поэтому объем детали равен от исходного объема, то есть литрам.

Ответ: 14.

Задача 9.

Площадь осевого сечения цилиндра равна 23. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на .

Решение: + показать

Площадь осевого сечения цилиндра есть ( – радиус и высота цилиндра). Поэтому

Площадь боковой поверхности цилиндра равна

Подставляя в последнюю формулу значение , получаем

Тогда

Ответ: 23.

Задача 10.

Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Решение: + показать

Часть цилиндра, изображенная на рисунке, – есть цилиндра с радиусом основания 6 и высотой 5.

Поэтому объем части цилиндра есть

Наконец,

Ответ: 45.

Задача 11.

Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Решение: + показать

Часть цилиндра, изображенная на рисунке, – есть часть цилиндра с радиусом основания 15 и высотой 6.

Поэтому объем части цилиндра есть

Наконец,

Ответ: 1125.

Задача 12.

Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Решение: + показать

Ответ: 64.

Задача 13.

Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Решение: + показать

Ответ: 75.

Время передохнуть немножко – >+ показать

Взаимовыручка в действии

Вы можете пройти тест по Задачам №8, цилиндр.

Какое тело является цилиндром?

В курсе школьной программы изучается круговой, то есть являющийся таковым в основании, цилиндр. Но выделяют еще и эллиптический вид данной фигуры. Из названия ясно, что его основанием будет эллипс или овал.

Оснований у цилиндра два. Они равны друг другу и соединены отрезками, которые совмещают соответствующие точки оснований. Они называются образующими цилиндра. Все образующие параллельны друг другу и равны. Именно они составляют боковую поверхность тела.

В общем случае цилиндр — это наклонное тело. Если образующие составляют прямой угол с основаниями, то говорят уже о прямой фигуре.

Интересно, что круговой цилиндр является телом вращения. Он получается от поворота прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Сечения цилиндра

Определение 2. Сечением цилиндра называют пересечение цилиндра с плоскостью.
Если сечение проходит через ось цилиндра, то такое сечение называют осевым сечением цилиндра (рис. 3).

Рис.3

На рисунке 3 изображено одно из осевых сечений цилиндра – прямоугольник AA₁B₁B .

Замечание 4. Каждое осевое сечение цилиндра с радиусом r и высотой h является прямоугольником со сторонами 2r и h .

Определение 3. Перпендикулярным сечением цилиндра называют сечение, перпендикулярное оси цилиндра (рис. 4).

Рис.4

Замечание 5. Любым перпендикулярным сечением цилиндра будет круг радиуса r .

Замечание 6. Более подробно случаи взаимного расположения цилиндра и плоскости рассматриваются в разделе нашего справочника «Взаимное расположение цилиндра и плоскости в пространстве».

Основные элементы цилиндра

Основные элементы цилиндра выглядят следующим образом.

• Высота. Она является кратчайшим расстоянием между основаниями цилиндра. Если он прямой, то высота совпадает с образующей.
• Радиус. Совпадает с тем, который можно провести в основании.
• Ось. Это прямая линия, которая содержит центры обоих оснований. Ось всегда параллельна всем образующим. В прямом цилиндре она перпендикулярна основаниям.
• Осевое сечение. Оно образуется при пересечении цилиндра плоскостью, содержащей ось.
• Касательная плоскость. Она проходит через одну из образующих и перпендикулярна осевому сечению, которое проведено через эту образующую.

О площади боковой поверхности и основания для прямого кругового цилиндра

Если сделать развертку боковой поверхности, то получится прямоугольник. Его стороны будут совпадать с образующей и длиной окружности основания. Поэтому боковая площадь цилиндра будет равна произведению этих двух величин. Если записать формулу, то получится следующее:

S_бок= l * н,

где н — образующая, l — длина окружности.

Причем последний параметр вычисляется по формуле:

l = 2 π * r,

здесь r — радиус окружности, π — число «пи», равное 3,14.

Поскольку основание — круг, то его площадь вычисляется с помощью такого выражения:

S_осн = π * r².

О площади всей поверхности прямого кругового цилиндра

Так как она образована двумя основаниями и боковой поверхностью, то нужно сложить эти три величины. То есть полная площадь цилиндра будет вычисляться по формуле:

S_пол = 2 π * r * н + 2 π * r².

Часто ее записывают в другом виде:

S_пол= 2 π * r (н + r).

Чему равны некоторые сечения прямого кругового цилиндра?

Когда сечение проходит через ось, то его площадь определяется как произведение образующей и диаметра основания. Это объясняется тем, что оно имеет вид прямоугольника, стороны которого совпадают с обозначенными элементами.

Чтобы найти площадь сечения цилиндра, являющегося параллельным осевому, потребуется тоже формула для прямоугольника. В этой ситуации одна его сторона будет по-прежнему совпадать с высотой, а другая равна хорде основания. Последняя же совпадает с линией сечения по основанию.

Когда сечение перпендикулярно оси, то оно имеет вид круга. Причем его площадь такая же, как у основания фигуры.

Возможно еще пересечение под некоторым углом к оси. Тогда в сечении получается овал или его часть.

Поделитесь в соц.сетях:

Оцените статью: (Пока оценок нет) Загрузка...